Question

10．橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的左、右焦點F₁，F₂，點A，B在橢圓上，若$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，則A坐標是（0，±1）．

Answer 1

分析 由橢圓方程求得焦點坐標，則$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂-$\sqrt{2}$，y₂），由向量的數乘運算，求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{{x}_{1}+6\sqrt{2}}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{{y}_{1}}{5}}\end{array}\right.$，代入橢圓方程即可求得A點坐標．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1焦點在x軸上，a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴焦點坐標F₁（-$\sqrt{2}$，0）F₂（$\sqrt{2}$，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+$\sqrt{2}$，y₁），$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂-$\sqrt{2}$，y₂），
∵$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+\sqrt{2}=5{x}_{2}-5\sqrt{2}}\\{{y}_{1}=5{y}_{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{{x}_{1}+6\sqrt{2}}{5}}\\{{y}_{2}=\frac{{y}_{1}}{5}}\end{array}\right.$，
由點A，B在橢圓上，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{3}+{y}_{1}^{2}=1}\\{\frac{（\frac{{x}_{1}+6\sqrt{2}}{5}）^{2}}{3}+（\frac{{y}_{1}}{5}）^{2}=1}\end{array}\right.$解得：x₁=0，y₁=±1，
∴點A的坐標是（0，±1，）．
故答案為：（0，±1）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，向量的數乘運算，考查橢圓方程的應用，考查計算能力，屬于中檔題．