Question

15．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．
①數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是否為等差數列？并證明你的結論；            
②求S_n；
③求證：$S_1^2+S_2^2+S_3^2+…+S_n^2＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 ①由${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，即可證明．
②利用等差數列的通項公式即可得出．
③n≥2時，${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂項求和”與數列的單調性即可得出．

解答 ①解：∵${a_1}=\frac{1}{2}，{a_n}+2{S_n}{S_{n-1}}=0（n≥2）$．
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$為等差數列，公差為2，首項為2．
②解：$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+2（n-1）=2n．
∴S_n=$\frac{1}{2n}$．
③證明：n≥2時，${S}_{n}^{2}$=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴${S}_{1}^{2}+{S}_{2}^{2}$+…+${S}_{n}^{2}$≤$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n}$＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的定義通項公式、“裂項求和”與數列的單調性、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．