Question

5．已知{a_n}是公差為3的等差數列，數列{b_n}滿足：b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，則{b_n}的前n項和為$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）．

Answer 1

分析 令n=1，可得a₁=2，結合{a_n}是公差為3的等差數列，可得{a_n}的通項公式，繼而可得數列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，進而可得：{b_n}的前n項和．

解答 解：∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
當n=1時，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，
∴a₁=2，
又∵{a_n}是公差為3的等差數列，
∴a_n=3n-1，
∵（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
即3b_n+1=b_n．
即數列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數列，
∴{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
故答案為：$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）

點評 本題考查的知識點是數列的遞推式，數列的通項公式，數列的前n項和公式，難度中檔．