Question

10．設函數f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sin（ωx+$\frac{π}{2}$）sinωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$．且f（x）在區間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值為0．
（1）求a，ω的值；
（2）用五點法作出它一個周期范圍內的簡圖．

Answer 1

分析 （1）先用三角恒等式將函數f（x）表達式化簡，再將最高點的坐標代入即可求出ω的值，由x的范圍，利用正弦函數的圖象和性質即可解得a的值．
（2）根據“五點法”作圖的步驟，我們令相位角x+$\frac{π}{3}$分別等0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，并求出對應的x，y值，描出五點后，用平滑曲線連接后，即可得到函數y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的一個周期內的簡圖．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sin（ωx+$\frac{π}{2}$）sinωx+a
=f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∵f（x）的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為$\frac{π}{6}$，
∴2ω-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=$\frac{1}{2}$；
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
∴當x+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$時，sin（x+$\frac{π}{3}$）取最小值-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在區間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]的最小值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=0，
∴a=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．…5分
（2）列表：

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）	0	2	0	-2	0

函數函數y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的在區間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上的圖象如下圖所示：

…10分

點評 本題考查了五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，其中描出五個關鍵點的坐標是解答本題的關鍵，考查三角函數的圖象與性質，三角函數恒等變換的應用，本題可以培養答題者運用知識靈活轉化的能力，屬于中檔題．