Question

18．若x＞0，則函數y=x+$\frac{1}{2x+1}$的最小值為$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 構造思想，函數y=x+$\frac{1}{2x+1}$變形為y=（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}$）$-\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：x＞0，
函數y=x+$\frac{1}{2x+1}$=（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}$）$-\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$時取等號．
∴函數y=x+$\frac{1}{2x+1}$的最小值為$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了構造思想，基本不等式的性質的運用，屬于基礎題．