Question

6．已知{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=1且a₁，a₃，a₉，成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列$\{{2^{a_n}}+{a_n}\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公差為d≠0．由a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數列，可得a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解出d即可得出通項公式．
（2）根據等比數列和等差數列的前n項和公式，分組求和即可．

解答 解：（1）：設數列{a_n}的公差為d≠0．
∵a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數列，
∴a₃²=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），
∴4d²=8d，
∵d≠0，∴d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）=1+n-1=n．
（Ⅱ）∵${2}^{{a}_{n}}$+a_n=2ⁿ+n，
∴數列$\{{2^{a_n}}+{a_n}\}$的前n項和S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$

點評 本題考查等差數列的通項公式的運用以及前n項和公式，考查等比數列的中項的性質，考查運算能力，屬于中檔題