Question

2．已知以$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x$為一條漸近線的雙曲線C的右焦點為$F（\sqrt{5}，0）$．
（1）求該雙曲線C的標準方程；
（2）若斜率為2的直線l在雙曲線C上截得的弦長為$\sqrt{6}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）設雙曲線的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由c=$\sqrt{5}$，漸近線方程：y=±$\frac{b}{a}$x，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，由c²=a²-b²=5，即可求得a和b的值，求得雙曲線的標準方程；
（2）設l：y=2x+m，代入雙曲線方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得m的值，即可求得l的方程．

解答 解：（1）由拋物線的焦點在x軸上，設雙曲線的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
由c=$\sqrt{5}$，漸近線方程：y=±$\frac{b}{a}$x，
∴$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{b}{a}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{2}{3}$，即2a²=3b²，
由c²=a²-b²=5，解得：a²=3，b²=2，
∴雙曲線C的標準方程$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$；
（2）設l：y=2x+m，與雙曲線的交點為：M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：10x²+12mx+3m²+6=0，
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{6m}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}}}{10}+6$----------（8分）
∴$\sqrt{5}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{5}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{6}$，
解得，$m=±\sqrt{15}$．
∴l的方程$y=2x±\sqrt{15}$．----------（12分）

點評 本題考查雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．