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3.設M=a+$\frac{1}{a-2}$(2<a<3).N=x(4$\sqrt{3}$-3x)(0<x<$\frac{4\sqrt{3}}{3}$),則M,N的大小關系為(  )
A.M>NB.M<NC.M≥ND.M≤N

分析 由于M=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2(2<a<3)在(2,3)上單調遞減,可得M>4,利用基本不等式可求得N的范圍,從而可比較二者的大小

解答 解:∵M=a+$\frac{1}{a-2}$=a-2+$\frac{1}{a-2}$+2,
而0<a-2<1,
又∵y=x+$\frac{1}{x}$在(0,1]上單調遞減,
∴M在(2,3)上單調遞減,
∴M>(3-2)+$\frac{1}{3-2}$+2=4;
又0<x<$\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴0<N=x(4-3x)=$\frac{1}{3}$•3x(4-3x)≤$\frac{1}{3}$[$\frac{3x+(4-3x)}{2}$]2=$\frac{4}{3}$.
∴M>N
故選:A

點評 本題考查對勾函數函數的性質及基本不等式,關鍵在于合理轉化,利用基本不等式解決問題,考查綜合運用數學知識的能力,屬于中檔題.

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