Question

11．對于函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$），求出其定義域，值域，最小正周期，以及單調性．

Answer 1

分析 利用正弦函數的性質，即可求得函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的定義域、最小正周期、值域、單調性．

解答 解：函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的定義域為R；
∵-1≤sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-2≤2sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤2，
∴函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的值域為：[-2，2]；
最小正周期T=$\frac{2π}{3}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的單調增區間為[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z）；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得：$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{12}$（k∈Z），
∴函數y=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）的單調減區間為[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．

點評 本題考查正弦函數的性質，著重考查其定義域、最小正周期、值域、單調性，屬于基礎題．