Question

4．若（x+1）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+…+1（n∈N^*），且a：b=3：1，則n的值為11．

Answer 1

分析 根據二項式展開式的通項公式，結合題意可得 $\frac{{C}_{n}^{n-3}}{{C}_{n}^{n-2}}$=$\frac{3}{1}$，由此求得a的值．

解答 解：∵（x+1）ⁿ=xⁿ+…+ax³+bx²+…+1（n∈N^*），且a：b=3：1，
∴$\frac{{C}_{n}^{n-3}}{{C}_{n}^{n-2}}$=$\frac{3}{1}$，即 $\frac{{C}_{n}^{3}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{n•（n-1）•（n-2）}{3•2•1}}{\frac{n•（n-1）}{2•1}}$=$\frac{n-2}{3}$，∴n=11，
故答案為：11．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數的性質，二項式展開式的通項公式，屬于基礎題．