Question

14．已知函數f（x）是定義在{x|x≠0}上的偶函數，且當x＞0時，f（x）=log₂x．
（1）求出函數f（x）的解析式；
（2）畫出函數|f（x）|的圖象，并根據圖象寫出函數|f（x）|的增區間；
（3）設g（x）=ax+1（a＞0），對任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，4]$，存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，4]$使g（x₁）=|f（x₀）|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）是定義在{x|x≠0}上的偶函數，當x＞0時，f（x）=log₂x．可得x＜0時的解析式．
（2）根據解析式畫出函數|f（x）|的圖象．觀察圖象的上升部分可得增區間．
（3）設g（x）=ax+1（a＞0），對任意${x_1}∈[\frac{1}{2}，4]$，存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，4]$使g（x₁）=|f（x₀）|，
只需要求出g（x）的值域M和|f（x）|的值域N，根據M⊆N，可求a的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）是定義在{x|x≠0}上的偶函數，f（-x）=f（x），
當x＞0時，f（x）=log₂x．那么：當x＜0時，則-x＞0，可得f（-x）=log₂（-x）=f（x）
∴x＜0時，f（x）=log₂（-x）．
故得函數f（x）的解析式為$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}x（x＞0）\\{log_2}（-x）（x＜0）\end{array}\right.$；
（2）畫出函數|f（x）|的圖象如下：

 通過圖象可知上升部分為（-1，0），（1，+∞）；
∴函數的增區間為（-1，0），（1，+∞）；
（3）設g（x）=ax+1（a＞0），函數g（x）是單調增函數，
當${x_1}∈[\frac{1}{2}，4]$時，函數g（x）的值域M為[$\frac{1}{2}a+1$，4a+1]．
當${x_0}∈[\frac{1}{2}，4]$時，由（2）的圖象可知|f（x₀）|值域N為[0，2]，
由題意，M⊆N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}a+1≥0}\\{4a+1≤2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得：$0＜a≤\frac{1}{4}$．
故得a的取值范圍是（0，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查了分段函數的解析式的求法和圖象的畫法，成在性的問題的轉化求解．屬于中檔題．