Question

9．函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[m，n]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足以下兩個條件：
（1）f（x）在[m，n]上是單調函數(shù)；
（2）f（x）在[m，n]上的值域為[2m，2n]，則稱區(qū)間[m，n]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④（填上所有正確的序號）
①f（x）=x²（x≥0）
②f（x）=e^x（x∈R）
③$f（x）=\frac{4x}{{{x^2}+1}}（{x≥0}）$
④$f（x）={log_2}（{{2^x}-\frac{1}{8}}）$．

Answer 1

分析 根據函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的兩個條件：①f（x）在[m，n]上是單調函數(shù)，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，對四個函數(shù)分別研究，從而確定是否存在“倍值區(qū)間”．

解答 解：函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的兩個條件：①f（x）在[m，n]上是單調函數(shù)，②$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，
對于①，f（x）=x²（x≥0）在[0．+∞）上單增調，若存在“倍值區(qū)間[m，n]，⇒f（m）=2m，f（n）=2n⇒$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=2m}\\{{n}^{2}=2n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，∴f（x）=x²（x≥0），存在“倍值區(qū)間”[0，2]；
對于②，f（x）=e^x（x∈R）在R上單增調，構建函數(shù)g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，
∴函數(shù)在（-∞，ln2）上單調減，在（ln2，+∞）上單調增，
∴函數(shù)在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2-ln2，∴g（x）＞0，∴e^x-2x=0無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間“；
對于③，f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}=\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$（x≠0），故f（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，+∞）上單調遞減，
f（0）=0．f（1）=2∴存在“倍值區(qū)間”[0，1]；
對于④，f（x）=log₂（2^x-$\frac{1}{8}$），則函數(shù)在定義域內為單調增函數(shù)，若存在“倍值區(qū)間”[m，n]，
∴m，n是方程log₂（2^x-$\frac{1}{8}$）=2x的兩個根，
∴m，n是方程2^2x-2^x+$\frac{1}{8}$=0的兩個根，
由于該方程有兩個不等的正根，故存在“倍值區(qū)間”[m，n]；
綜上知，所給函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，涉及知識點較多，計算量大，屬于難題．．