Question

16．已知銳角三角形三邊長分別為1，3，a，則a的取值范圍是（　　）

• A． 8＜a＜10
• B． 2$\sqrt{2}＜a＜\sqrt{10}$
• C． $2\sqrt{2}＜a＜10$
• D． $\sqrt{10}＜a＜8$

Answer 1

分析 由已知中△ABC三邊長分別為1、3、a，根據余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時，由兩邊長1和3求出a的范圍，但3與a邊均有可能為最大邊，故要分類討論．

解答 解：∵△ABC三邊長分別為1、3、a，
又∵△ABC為銳角三角形，
當3為最大邊時3≥a，設3所對的角為α，
則根據余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1-{3}^{2}}{2a}$＞0，
∵a＞0，
∴a²-8＞0，
解得3≥a＞2$\sqrt{2}$；
當a為最大邊時a＞3，設a所對的角為β，
則根據余弦定理得：cosβ=$\frac{1+9-{a}^{2}}{6}$＞0，
∴10-a²＞0，
解得：3＜a＜$\sqrt{10}$，
綜上，實數a的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$）．
故選：B．

點評 本題考查了三角形的形狀判斷，以及余弦定理的應用，利用了分類討論的思想．解答本題的關鍵是利用余弦定理推論出最大邊所對角的余弦值大于0，進而根據兩邊長1和2求出第三邊a的取值范圍，屬于中檔題．