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14.過點M(1,1)作斜率為$-\frac{1}{2}$的直線與橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$相交于A,B,則直線AB的方程x+2y-3=0;若M是線段AB的中點,則橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.

分析 由直線的點斜式方程:y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),整理得:x+2y-3=0,由$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$①,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$②,利用中點坐標公式及作差法,即可求得a與b的關系,則c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=b,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

解答 解:由題意可知:直線的點斜式方程:y-1=-$\frac{1}{2}$(x-1),
整理得:x+2y-3=0,
解:設A(x1,y1),B(x2,y2),則$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$①,$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$②,
∵M是線段AB的中點,
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=1,$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1,
由$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∵①②兩式相減可得$\frac{({x}_{1}+{x}_{2})({x}_{1}-{x}_{2})}{{a}^{2}}$+$\frac{({y}_{1}+{y}_{2})({y}_{1}-{y}_{2})}{{b}^{2}}$=0,
即$\frac{2}{{a}^{2}}$+(-$\frac{1}{2}$)$\frac{2}{{b}^{2}}$=0,整理得:a=$\sqrt{2}$b,
c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=b
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
橢圓C的離心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案為:x+2y-3=0,$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查點差法的應用,直線的點斜式方程,考查計算能力,屬于中檔題.

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