Question

4．已知$|{\overrightarrow a}$|=1，$|{\overrightarrow b}$|=2，$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，$\overrightarrow{c}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，求出|$\overrightarrow{c}$|，再由cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{2}$求解．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos120°=-1，由$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，
得到$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{c}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4}$=2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•（-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{2}$=0，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積公式的運用求向量的夾角．關鍵是公式的熟練運用，是中檔題．