Question

13．設P是圓x²+y²=25上的動點，點D是P在x軸上投影，M為線段PD上一點，且$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$．
（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）過點（3，0）且斜率為$\frac{4}{5}$的直線交軌跡C于A，B兩點，若點F（-3，0），△ABF求的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：M的坐標為（x，y），P的坐標為（x'，y'），則$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$，代入x'²+y'²=25，整理得點M的軌跡C的方程；
（2）設直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，利用弦長公式求出丨AB丨，求出點F到AB的距離，即可求△ABF的面積．

解答 解：（1）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x'，y'），
由$|{MD}|=\frac{4}{5}|{PD}|$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{5}{4}y}\end{array}\right.$，
∵P在圓上，
∴x'²+y'²=25，即x²+（$\frac{5}{4}$y）²=25，整理得$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．
（2）直線$AB：y=\frac{4}{5}（{x-3}）$，代入C的方程，整理得：x²-3x-8=0
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=-8，
∴線段AB的長度為$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{41}{5}$，
點F到AB的距離為$d=\frac{24}{{\sqrt{41}}}$，故$S=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{{12\sqrt{41}}}{5}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，橢圓的標準方程的應用，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．