Question

10．設函數f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx
（1）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數f（x）在區間（1，e²]內恰有兩個零點，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間和極值即可；
（2）通過討論a的范圍，若滿足f（x）在區間（1，e²]內恰有兩個零點，需滿足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx，得f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$（x＞0），
①當a≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，函數無極大值，也無極小值；
②當a＞0時，由f′（x）=0，得x=$\sqrt{a}$或x=-$\sqrt{a}$（舍去）．
于是，當x變化時，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	$\frac{a（1-lna）}{2}$	遞增

所以函數f（x）的單調遞減區間是（0，$\sqrt{a}$），單調遞增區間是（$\sqrt{a}$，+∞）．
函數f（x）在x=$\sqrt{a}$處取得極小值f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，無極大值．
綜上可知，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），函數既無極大值也無極小值；
當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間是（0，$\sqrt{a}$），單調遞增區間為（$\sqrt{a}$，+∞），
函數f（x）有極小值$\frac{a（1-lna）}{2}$，無極大值．
（2）當a≤0時，由（1）知函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
故函數f（x）在區間（1，e²]上至多有一個零點，不合題意．
當a＞0時，由（1）知，當x∈（0，$\sqrt{a}$）時，函數f（x）單調遞減；
當x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時，函數f（x）單調遞增，
所以函數f（x）在（0，+∞）上的最小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$．
若函數f（x）在區間（1，e²]內恰有兩個零點，
則需滿足$\left\{\begin{array}{l}{1＜\sqrt{a}{＜e}^{2}}\\{f（\sqrt{a}）＜0}\\{f（1）＞0}\\{f{（e}^{2}）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{\frac{a（1-lna）}{2}＜0}\\{\frac{1}{2}＞0}\\{\frac{{e}^{4}}{2}-2a≥0}\end{array}\right.$整理得$\left\{\begin{array}{l}{1＜a{＜e}^{4}}\\{a＞e}\\{a≤\frac{{e}^{4}}{4}}\end{array}\right.$，所以e＜a≤$\frac{{e}^{4}}{4}$．
故所求a的取值范圍為（e，$\frac{{e}^{4}}{4}$]．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．