Question

14．在△ABC中，D是邊BC上一點，且$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}，P$是線段AD上一個動點，若$\overrightarrow{|{AD}|}=2$，則$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$的最小值是（　　）

• A． -8
• B． -4
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 通過向量的數量積以及向量的表示，化簡數量積，利用因為$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，令|$\overrightarrow{PA}$|=t，轉化數量積為t的二次函數，然后求解最小值．

解答 解：由于$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=$\overrightarrow{PA}$•[$\overrightarrow{PB}$+3（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}$）]=$\overrightarrow{PA}$•[（$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{DC}$）+3$\overrightarrow{PD}$]，
因為$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，
所以$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{PD}$，
故于$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=4$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$，
令|$\overrightarrow{PA}$|=t，
則$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=4•t•（2-t）•cos180°=4[（t-1）²-1]≥-4，
故$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$的最小值是-4，
故選：B

點評 本題主要考查了向量數量積的應用，以及基本不等式的應用，同時考查了等價轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．