Question

9．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{a^2}-x$．
（I）若曲線f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，求函數f（x）的單調區間；
（II）當f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求導數，據題意k=f′（1）=0，解得a值，再在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$等價于lna²+a²＜1，構造函數可判斷a的取值范圍；

解答 解：由已知有$f'（x）=\frac{1}{{{a^2}•x}}-1=\frac{{1-{a^2}•x}}{{{a^2}•x}}（x＞0）$；
（ I）因為f'（1）=0所以a²=1，即$f'（x）=\frac{1-x}{x}=0$得x=1；
因此函數f（x）的單調增區間為（0，1），單調減區間為（1，+∞）．
（ II）令f'（x）=0得$x=\frac{1}{a^2}（{a^2}≠0）$，
則函數f（x）的在區間$（0，\frac{1}{a^2}）$單調遞增，在區間$（\frac{1}{a^2}，+∞）$．單調遞減；
即f（x）在$x=\frac{1}{a^2}$處取得最大值，最大值為$f（\frac{1}{a^2}）=\frac{1}{a^2}ln\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2}$；
因此f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$等價于lna²+a²＜1…（*）；
令t=a²（t＞0），構造函數g（t）=lnt+t，則（*）式等價于g（t）=lnt+t＜1；
因為函數g（t）=lnt+t在（0，+∞）為增函數且g（1）=1，
所以當0＜t＜1時有g（t）＜1，當t＞1時有g（t）＞1；
即lna²+a²＜1…（*）等價于0＜a²＜1即-1＜a＜0或0＜a＜1；
因此當f（x）的最大值大于1-$\frac{2}{a^2}$時，a的取值范圍（-1，0）∪（0，1）．

點評 本題考查利用導數研究函數單調性、曲線上某點切線方程，考查函數的最值求解，考查分類討論思想，考查函數恒成立問題的解決，轉化函數最值是解決恒成立問題的常用方法．