Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，若（$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$）=0，則|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值是（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2+$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{b}=（3，0）$，再設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，這樣根據(jù)$（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）=0$即可得出$\overrightarrow{c}$終點(diǎn)的軌跡，而數(shù)形結(jié)合即可求出$|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：根據(jù)條件，設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{b}=（3，0）$，設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，則：
$（\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}）$=$（x-2，y-2\sqrt{3}）•（x-2，y）$=0；
∴$（x-2）^{2}+（y-\sqrt{3}）=3$；
∴$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)在以$（2，\sqrt{3}）$為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓上，如圖所示：
∴|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|的最小值為：$\sqrt{（2-3）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，引入坐標(biāo)解決向量問題的方法，以及數(shù)形結(jié)合的解題思想方法．