Question

6．（1）已知數(shù)列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求函數(shù)$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)關(guān)系式，構(gòu)造新數(shù)列，a_n+1+a_n=4變形為a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，那么b_n+1=a_n+1-2，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．
（2）求出定義域，利用兩邊平方法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域．

解答 解：（1）由題意：數(shù)列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4變形為a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，則b₁=-1，b_n+1=a_n+1-2，那么：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=-1=q$（等比數(shù)列），首項(xiàng)b₁=-1，
∴${b}_{n}=（-1）^{n}$，
故得：${a}_{n}={b}_{n}+2=2+（-1）^{n}$
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：2+（-1）ⁿ．
（2）函數(shù)$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$，其定義域?yàn)閧x|0≤x≤1}．
∵f（x）＞0，
兩邊平方，可得：f²（x）=1+2$\sqrt{x-{x}^{2}}$，
∵x-x²在0≤x≤1的值域?yàn)閇0，$\frac{1}{4}$]，
那么：（2$\sqrt{x-{x}^{2}}$）∈[0，1]，
∴f²（x）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，$\sqrt{2}$]．
所以函數(shù)$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域?yàn)?[{1，\sqrt{2}}]$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，利用構(gòu)造思想，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．考查了函數(shù)的值域的求法，利用了平方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題求解．屬于基礎(chǔ)題．