Question

13．如圖，在銳角△ABC中，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，P是線段BN（不含端點）上的一點，若$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$的最小值為16．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BN}$，0＜t＜1，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AP}$，求出m、n的表達式，再代入$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$求出它的最小值．

解答 解：設$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BN}$，0＜t＜1，
又$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{NC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$
=$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{BN}$
=$\overrightarrow{AB}$+t（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（1-t）$\overrightarrow{AB}$+t$\overrightarrow{AN}$
=（1-t）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{t}{3}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
∴m=1-t，n=$\frac{t}{3}$；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$=$\frac{1}{1-t}$+$\frac{9}{t}$
=（$\frac{1}{1-t}$+$\frac{9}{t}$）（1-t+t）
=1+$\frac{t}{1-t}$+$\frac{9（1-t）}{t}$+9
≥2$\sqrt{\frac{t}{1-t}•\frac{9（1-t）}{t}}$+10
=2×3+10
=16，當且僅當t=$\frac{3}{4}$時“=”成立；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{3}{n}$的最小值是16．
故答案為：16．

點評 本題考查了平面向量的共線定理以及基本不等式的應用問題，是綜合性題目．