Question

10．設等比數列{a_n}的各項均為正數，公比為q，前n項和為S_n，若對?x∈N⁺，有$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，則q的取值范圍是（　　）

• A． （0，1]
• B． （1，2）
• C． [1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 需要分類討論：q=1、q＞1、0＜q＜1等情況，結合等比數列的前n項和公式列出不等式，并解答．

解答 解：當q=1時，S_2n=2S_n＜5S_n，即$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5成立；
當q≠1時，∵等比數列{a_n}的各項均為正數，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜5，
∴S_2n＜5S_n，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2n}）}{1-q}$＜5×$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∴qⁿ＜4．
當q＞1時，n＜log_n⁴對?x∈N⁺恒成立，則log_n⁴＞n_max，故舍去；
當0＜q＜1時，n＞log_n⁴對?x∈N⁺恒成立，
∴log_n⁴＜n_min，
∴log_n⁴＜1，即0＜q＜4，
又0＜q＜1，
∴0＜q＜1．
綜上所述，0＜q≤1．
故選：A．

點評 本題考查了等比數列的通項公式，考查學生的計算能力，注意“分類討論”數學思想的應用．