Question

5．設正數數列{a_n}的前n項和為S_n，且存在正數t，使得對所有的正整數n，都有$\sqrt{t{S_n}}=\frac{{t+{a_n}}}{2}$，則S_n=tn²．

Answer 1

分析 由原遞推式化簡可得S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，分類討論求得a₁=t，a_n-a_n-1=2t，從而求其通項公式代入可得S_n=tn² ．

解答 解：由$\sqrt{t{S_n}}=\frac{{t+{a_n}}}{2}$，得，S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²，
當n=1時，S₁=$\frac{1}{4t}$（t+a₁）²，
解得，a₁=t；
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²-$\frac{1}{4t}$（t+a_n-1）得，
a_n-a_n-1=2t；
∴{a_n}是首項為t，公差為2t的等差數列，故a_n=（2n-1）t．
將a_n=（2n-1）t代入S_n=$\frac{1}{4t}$（t+a_n）²得，S_n=tn² ．
故答案為：tn²．

點評 本題考查數列遞推式，考查了學生的化簡運算能力及轉化思想的應用，同時考查了函數的性質的判斷與應用，是中檔題．