Question

4．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過(guò)雙曲線Γ的右焦點(diǎn)，且傾斜角為$\frac{π}{2}$的直線l與雙曲線Γ交地A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=∠OAB，則雙曲線Γ的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{11}+\sqrt{33}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$
• D． $\frac{1+\sqrt{17}}{4}$

Answer 1

分析 由雙曲線的對(duì)稱性及∠AOB=∠OAB，可知△AOB為等邊三角形，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得b²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ac，由b²=c²-a²，同除以a²，e²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$e-1=0，由e＞1，即可求得雙曲線Γ的離心率．

解答 解：由題意可知：AB為雙曲線的通徑，
根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知：∠OAB=∠OBA，
∵∠AOB=∠OAB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴b²=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ac，
由雙曲線的性質(zhì)可知：b²=c²-a²，
整理得：c²=a²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$ac，
同除以a²，可得：e²-$\frac{\sqrt{3}}{3}$e-1=0，
解得：e=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{6}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，雙曲線的離心率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．