Question

19．已知等差數列{a_n}滿足（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…（a_n+a_n+1）=2n（n+1）（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$，求證：$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）由n=1時，a₁+a₂=4，當n=2時，a₁+a₂+a₂+a₃=12，4a₂=12，a₂=3，即可求得a₁=1，則d=a₂-a₁=2，根據等差數列的通項公式即可求得a_n=2n-1；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2}$，采用“裂項法”即可求得$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
當n=1時，a₁+a₂=4，
當n=2時，a₁+a₂+a₂+a₃=12，即4a₂=12，a₂=3，
∴a₁=1，
d=a₂-a₁=2，
∴等差數列{a_n}的通項公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∴a_n=2n-1；
（2）證明：由（1）得b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1，
∴$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$＜1．

點評 本題考查等差數列的性質及通項公式，考查“裂項法”求數列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．