Question

10．函數f（x）為奇函數，且圖象關于x=1對稱，當x∈（0，1）時，f（x）=ln（x+1），則當x∈（3，4）時，f（x）為（　　）

• A． 增函數且f（x）＞0
• B． 增函數且f（x）＜0
• C． 減函數且f（x）＞0
• D． 減函數且f（x）＜0

Answer 1

分析 根據奇函數的性質、函數圖象的對稱軸求出函數的周期，由題意、函數的奇偶性、周期性、對稱性畫出函數的圖象，由圖象可得答案．

解答 解：∵函數f（x）為奇函數，且圖象關于x=1對稱，
∴f（x）=-f（-x），f（2-x）=f（x），
∴-f（x-2）=f（x），則f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=f（x），∴函數的周期是4，
又當x∈（0，1）時，f（x）=ln（x+1），
畫出函數的圖象如圖所示：
由圖可得，
當x∈（3，4）時，f（x）為增函數且f（x）＜0，
故選B．

點評 本題考查了函數奇偶性的性質，函數的周期性以及對稱性的綜合應用，求出函數的周期是解題關鍵，考查數形結合思想，屬于中檔題．