Question

20．△ABC中，2bcosB=acosC+ccosA
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得cosB的值，結(jié)合范圍B∈（0，π）即可得解B的值．
（2）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得sinA+sinC=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），結(jié)合范圍$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，可求$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其取值范圍．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，…（2分）
∴2sinAcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB…（4分）
$cosB=\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π）
∴$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$sinA+sinC=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$，…（8分）
=$\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA）=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，…（12分）
∵$A∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]∴\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）∈（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．