Question

5．已知直線2x-y+4=0與拋物線x²=4y相交于A，B兩點，O是坐標原點，P是拋物線弧AOB上的一點，則△ABP面積的最大值是20．

Answer 1

分析 要使得內接△ABP面積最大，則只須使得過P點的切線與直線2x-y+4=0平行，由導數的性質能求出P位于（4，4）點處時，△ABP面積最大．

解答 解：要使得內接△ABP面積最大，則只須使得過P點的切線與直線2x-y+4=0平行，
∵x²=4y，
∴y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
∵y′=$\frac{1}{2}x$，直線2x-y+4=0斜率為2，
∴過P點的切線斜率k=y_p′=2，
解得x_P=4，則可得y_P=4
∴P位于（4，4）點處時，△ABP面積最大．兩條平行線間的距離為$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
直線2x-y+4=0與拋物線x²=4y聯立，可得x²-8x-16=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\sqrt{36+64}$=10$\sqrt{5}$，
∴△ABP面積的最大值是$\frac{1}{2}×10\sqrt{5}×\frac{4}{\sqrt{5}}$=20，
故答案為：20．

點評 本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．解題時要認真審題，注意導數性質的靈活運用．