Question

1．設f（x）是R上的奇函數，且當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$）．求：
（1）f（-8）；
（2）f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據解析式先求出f（8），由奇函數的性質求出f（-8）；
（2）設x＜0則-x＞0，代入解析式化簡得f（-x），由奇函數的性質求出f（x），利用分段函數表示出
f（x）．

解答 解：（1）∵當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$），
∴f（8）=8×（8+$\root{3}{8}$）=80，
∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（-8）=-f（8）=-80；
（2）設x＜0，則-x＞0，
∵當x∈[0，+∞）時，f（x）=x（x+$\root{3}{x}$），
∴f（-x）=-x（-x-$\root{3}{x}$）=x（x+$\root{3}{x}$），
∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-x（x+$\root{3}{x}$），
綜上得，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x（x+\root{3}{x}），x≥0}\\{-x（x+\root{3}{x}），x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了利用函數奇偶性的性質求函數值和解析式，考查轉化思想，屬于基礎題．