Question

4．設函數f（x）=-（x-1）²-blnx，其中b為常數．
（1）當b＞$\frac{1}{2}$時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）若函數f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點．

Answer 1

分析 （1）首先函數的定義域為（0，+∞），然后求出函數的導數f′（x），將f′（x）變形后，再結合x＞0和b＞$\frac{1}{2}$得f′（x）＞0，可得函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不相等的實數根時，函數有極值．然后利用根的判別式算得當b＜$\frac{1}{2}$時，函數存在極值點，最后根據b≤0和0＜b＜$\frac{1}{2}$兩種情況分別得出函數的極值點．

解答 解：（1）f′（x）=-2（x-1）-$\frac{b}{x}$=-$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
當b＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
函數f（x）在定義域（0，+∞）遞減；
（2）①由（1），b＞$\frac{1}{2}$時，函數f（x）無極值點，
②b=$\frac{1}{2}$時，有2個相同的解x=$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（-1，+∞）無極值點，
③b＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）=0有兩個不同的解，
x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
∴（i）b≤0時，x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≤0∉（0，+∞），舍去，
而x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≥1∈（0，+∞），
此時f′（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值	遞減

由此表可知：當b≤0時，f（x）有唯一極大值點，x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
（ii）   當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，0＜x₁＜x₂＜1 此時，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由此表可知：當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）有一個極小值x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一個極大值點x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
綜上所述：當且僅當b＜$\frac{1}{2}$時f（x）有極值點；
當b≤0時，f（x）有唯一最大值點x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
當0＜b＜$\frac{1}{2}$時，f（x）有一個極小值點x=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一個極大值點x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性和含有字母參數的函數極值的討論，屬于中檔題．