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15.已知函數f(x)=($\frac{1}{2}$)x,函數g(x)=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x.
(1)若g(ax2+2x+1)的定義域為R,求實數a的取值范圍;
(2)當x∈[($\frac{1}{2}$)t+1,($\frac{1}{2}$)t]時,求函數y=[g(x)]2-2g(x)+2的最小值h(t);
(3)是否存在非負實數m,n,使得函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$f(x2)的定義域為[m,n],值域為[2m,2n],若存在,求出m,n的值;若不存在,則說明理由.

分析 (1)g(ax2+2x+1)的定義域為R,即所以ax2+2x+1>0對一切x∈R成立,轉化為一元二次函數問題;
(2)利用換元法構造新函數y=u2-2u+2=(u-1)2+1,u∈[t,t+1];對參數t分類討論其位置,判斷函數的最小值即可;
(3)根據函數的單調性,列出方程組$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$,轉化為:即m、n是方程x2=2x的兩非負實根,且m<n;

解答 解:(1)$g(a{x^2}+2x+1)={log_{\frac{1}{2}}}(a{x^2}+2x+1)$定義域為R;
所以ax2+2x+1>0對一切x∈R成立;                   
當a=0時,2x+1>0不可能對一切x∈R成立;           
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a>0}\\{△=4-4a<0}\end{array}}\right.$   即:$\left\{{\begin{array}{l}{a>0}\\{a>1}\end{array}}\right.解得a>1$;
綜上  a>1.
(2)$y={({log_{\frac{1}{2}}}x)^2}-2({log_{\frac{1}{2}}}x)+2,x∈[{(\frac{1}{2})^{t+1}},{(\frac{1}{2})^t}]$;
令$u={log_{\frac{1}{2}}}x∈[t,t+1]$;
所以y=u2-2u+2=(u-1)2+1,u∈[t,t+1];
當t≥1時,${y_{min}}={t^2}-2t+2$;
當0<t<1時,ymin=1;
當t≤0時,${y_{min}}={t^2}+1$;
所以 $h(t)=\left\{{\begin{array}{l}{{t^2}+1t≤0}\\{10<t<1}\\{{t^2}-2t+2t≥1}\end{array}}\right.$;
(3)y=x2在[0,+∞)上是增函數;
若存在非負實數m、n滿足題意,則$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$;
即m、n是方程x2=2x的兩非負實根,且m<n;
所以m=0,n=2;
即存在m=0,n=2滿足題意.

點評 本題主要考查了一元二次函數的圖形特征,利用換元法構造新函數,分類討論求函數的最值以及函數單調性的應用,屬中等題.

練習冊系列答案
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