Question

15．已知函數f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，函數g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．
（1）若g（ax²+2x+1）的定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[（$\frac{1}{2}$）^t+1，（$\frac{1}{2}$）^t]時，求函數y=[g（x）]²-2g（x）+2的最小值h（t）；
（3）是否存在非負實數m，n，使得函數y=log${\;}_{\frac{1}{2}}}$f（x²）的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）g（ax²+2x+1）的定義域為R，即所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立，轉化為一元二次函數問題；
（2）利用換元法構造新函數y=u²-2u+2=（u-1）²+1，u∈[t，t+1]；對參數t分類討論其位置，判斷函數的最小值即可；
（3）根據函數的單調性，列出方程組$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$，轉化為：即m、n是方程x²=2x的兩非負實根，且m＜n；

解答 解：（1）$g（a{x^2}+2x+1）={log_{\frac{1}{2}}}（a{x^2}+2x+1）$定義域為R；
所以ax²+2x+1＞0對一切x∈R成立；                   
當a=0時，2x+1＞0不可能對一切x∈R成立；           
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}}\right.$   即：$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a＞1}\end{array}}\right.解得a＞1$；
綜上  a＞1．
（2）$y={（{log_{\frac{1}{2}}}x）^2}-2（{log_{\frac{1}{2}}}x）+2，x∈[{（\frac{1}{2}）^{t+1}}，{（\frac{1}{2}）^t}]$；
令$u={log_{\frac{1}{2}}}x∈[t，t+1]$；
所以y=u²-2u+2=（u-1）²+1，u∈[t，t+1]；
當t≥1時，${y_{min}}={t^2}-2t+2$；
當0＜t＜1時，y_min=1；
當t≤0時，${y_{min}}={t^2}+1$；
所以 $h（t）=\left\{{\begin{array}{l}{{t^2}+1t≤0}\\{10＜t＜1}\\{{t^2}-2t+2t≥1}\end{array}}\right.$；
（3）y=x²在[0，+∞）上是增函數；
若存在非負實數m、n滿足題意，則$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}=2m}\\{{n^2}=2n}\end{array}}\right.$；
即m、n是方程x²=2x的兩非負實根，且m＜n；
所以m=0，n=2；
即存在m=0，n=2滿足題意．

點評 本題主要考查了一元二次函數的圖形特征，利用換元法構造新函數，分類討論求函數的最值以及函數單調性的應用，屬中等題．