Question

10．已知直線l：y=kx+2與橢圓E：x²+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1交于A，B兩點，若三角形AOB的面積$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求直線的斜率k的值．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯立化為：（5+k²）x²+4kx-1=0，|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，原點O到直線l的距離d．S_△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，化簡解得即可得出．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{5{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，化為：（5+k²）x²+4kx-1=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{5+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{5+{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[\frac{16{k}^{2}}{（5+{k}^{2}）^{2}}-\frac{4×（-1）}{5+{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{5+{k}^{2}}$．
原點O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{5}（1+{k}^{2}）}{5+{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，化為：（k²-3）²=0，
解得k²=3．
解得k=$±\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．