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10.已知直線l:y=kx+2與橢圓E:x2+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1交于A,B兩點,若三角形AOB的面積$\frac{\sqrt{5}}{2}$,求直線的斜率k的值.

分析 設A(x1,y1),B(x2,y2).直線與橢圓方程聯立化為:(5+k2)x2+4kx-1=0,|AB|=$\sqrt{(1+{k}^{2})[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$,原點O到直線l的距離d.S△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,化簡解得即可得出.

解答 解:設A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{5{x}^{2}+{y}^{2}=5}\end{array}\right.$,化為:(5+k2)x2+4kx-1=0,
△>0,
∴x1+x2=-$\frac{4k}{5+{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{-1}{5+{k}^{2}}$.
∴|AB|=$\sqrt{(1+{k}^{2})[({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{(1+{k}^{2})[\frac{16{k}^{2}}{(5+{k}^{2})^{2}}-\frac{4×(-1)}{5+{k}^{2}}]}$=$\frac{2\sqrt{5}(1+{k}^{2})}{5+{k}^{2}}$.
原點O到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$.
∴S△AOB=$\frac{1}{2}d$|AB|=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{5}(1+{k}^{2})}{5+{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,化為:(k2-3)2=0,
解得k2=3.
解得k=$±\sqrt{3}$.

點評 本題考查了直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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