Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個極值點x₁，x₂，若x₁＜x₂，則f（x）=x₁-x₂的解的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 不能確定

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個極值點x₁，x₂，通過函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性判斷方程解的個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-bx+c有兩個極值點x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²-2ax-b=（x-x₁）（x-x₂），
即為3x²-2ax-b=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
∵x₁＜x₂，∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂
即有x＜x₁，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
x₁＜x＜x₂，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）是減函數(shù)；
x₂＜x，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，x=x₂，函數(shù)取得極小值，
∵x₁＜x₂，∴f（x）=x₁-x₂的解的個數(shù)不能確定．
故選D．

點評 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個數(shù)，考查了函數(shù)與方程的思想方法、推理能力、計算能力、分析問題和解決問題的能力．