Question

8．已知$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，則f （x）（　　）

• A． 是偶函數，而非奇函數
• B． 既是奇函數又是偶函數
• C． 是奇函數，而非偶函數
• D． 是非奇非偶函數

Answer 1

分析 先求出函數的定義域關于原點對稱，再根據在函數的定義域內，f（-x）=-f（x）恒成立，可得函數為奇函數．

解答 解：∵$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+3|-3}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}≥0}\\{|x+3|≠3}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜0，或0＜x＜1，
故函數的定義域為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1 }，關于原點對稱，
再根據f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|-x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{|x-3|-3}$≠-f（x），
當0＜x＜1時，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
當-1＜x＜0時，f（x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{x}$，f（-x）=$\frac{\sqrt{{1-x}^{2}}}{-x}$=-f（x）；
故在函數的定義域內，f（-x）=-f（x）恒成立，故函數為奇函數，
故選：C．

點評 本題主要考查函數的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．