Question

16．已知函數f（x）=（4-x）e^x-2，試判斷是否存在m使得y=f（x）與直線3x-2y+m=0（m為確定的常數）相切？

Answer 1

分析 求出f（x）的導數，可得切線的斜率，設g（x）=（3-x）e^x-2，求出導數和單調區間，可得極值也為最值，假設存在m滿足題意，由直線方程可得斜率大于最值，即可判斷不存在．

解答 解：函數f（x）=（4-x）e^x-2，
導數為f′（x）=（3-x）e^x-2，
設g（x）=（3-x）e^x-2，則g'（x）=（2-x）e^x-2，
由x＞2時，g'（x）＜0，g（x）遞減；x＜2時，g'（x）＞0，g（x）遞增．
可推得g（x）極大值為g（2）=1，也為最大值．
假設y=f（x）與直線3x-2y+m=0（m為確定的常數）相切，
則切線的斜率為$\frac{3}{2}$，
由于切線的斜率的最大值為1．
所以$f'（x）=（3-x）{e^{x-2}}=\frac{3}{2}$無解．
所以不存在m滿足題意．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查存在性問題的解法，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．