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4.若${({1+mx})^6}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$,且a1-a2+a3-a4+a5-a6=-63,則實數m的值為3或-1.

分析 在所給的等式中,令x=0,可得a0=1.再令x=-1,可得a0-a1+a2 -a3 +a4 -a5 +a6=(1-m)6.再根據a1-a2+a3-a4+a5-a6=-63,求得 (1-m)6=64,由此求得m的值.

解答 解:∵${({1+mx})^6}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$,令x=0,可得a0=1.
再令x=-1,可得a0-a1+a2 -a3 +a4 -a5 +a6=(1-m)6
∵a1-a2+a3-a4+a5-a6=-63,兩邊同時乘以-1,可得-a1+a2 -a3 +a4 -a5 +a6=63,
∴a0-a1+a2 -a3 +a4 -a5 +a6=64,即 (1-m)6=64,∴1-m=±2,∴m=3,或m=-1.
故答案為:3或-1.

點評 本題主要考查二項式定理的應用,注意根據題意,分析所給代數式的特點,通過給二項式的x賦值,求展開式的系數和,可以簡便的求出答案,屬于中檔題.

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