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15.如圖,在同一個平面內,向量$\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$的模分別為1,1,$\sqrt{2}$,$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α,且tanα=7,$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為45°.若$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$(m,n∈R),則m+n=3.

分析 如圖所示,建立直角坐標系.A(1,0).由$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α,且tanα=7.可得cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$,sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$.C$(\frac{1}{5},\frac{7}{5})$.可得cos(α+45°)=$-\frac{3}{5}$.sin(α+45°)=$\frac{4}{5}$.B$(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$.利用$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$(m,n∈R),即可得出.

解答 解:如圖所示,建立直角坐標系.A(1,0).
由$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為α,且tanα=7.
∴cosα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$,sinα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$.
∴C$(\frac{1}{5},\frac{7}{5})$.
cos(α+45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosα-sinα)=$-\frac{3}{5}$.
sin(α+45°)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(sinα+cosα)=$\frac{4}{5}$.
∴B$(-\frac{3}{5},\frac{4}{5})$.
∵$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$(m,n∈R),
∴$\frac{1}{5}$=m-$\frac{3}{5}$n,$\frac{7}{5}$=0+$\frac{4}{5}$n,
解得n=$\frac{7}{4}$,m=$\frac{5}{4}$.
則m+n=3.
故答案為:3.

點評 本題考查了向量坐標運算性質、和差公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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