Question

14．在直角坐標系xOy中，直線l₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，（t為參數），直線l₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+m}\\{y=\frac{m}{k}}\end{array}\right.$，（m為參數）．設l₁與l₂的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．
（1）寫出C的普通方程；
（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l₃：ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0，M為l₃與C的交點，求M的極徑．

Answer 1

分析 解：（1）分別消掉參數t與m可得直線l₁與直線l₂的普通方程為y=k（x-2）①與x=-2+ky②；聯立①②，消去k可得C的普通方程為x²-y²=4；
（2）將l₃的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0化為普通方程：x+y-$\sqrt{2}$=0，再與曲線C的方程聯立，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，即可求得l₃與C的交點M的極徑為ρ=$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）∵直線l₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=kt}\end{array}\right.$，（t為參數），
∴消掉參數t得：直線l₁的普通方程為：y=k（x-2）①；
又直線l₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+m}\\{y=\frac{m}{k}}\end{array}\right.$，（m為參數），
同理可得，直線l₂的普通方程為：x=-2+ky②；
聯立①②，消去k得：x²-y²=4，即C的普通方程為x²-y²=4（x≠±2）；
（2）∵l₃的極坐標方程為ρ（cosθ+sinθ）-$\sqrt{2}$=0，
∴其普通方程為：x+y-$\sqrt{2}$=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\sqrt{2}}\\{{x}^{2}{-y}^{2}=4}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴ρ²=x²+y²=$\frac{18}{4}$+$\frac{2}{4}$=5．
∴l₃與C的交點M的極徑為ρ=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查參數方程與極坐標方程化普通方程，考查函數與方程思想與等價轉化思想的運用，屬于中檔題．