Question

9．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+$\sqrt{3}$cosA=0，a=2$\sqrt{7}$，b=2．
（1）求c；
（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據同角的三角函數的關系求出A，再根據余弦定理即可求出，
（2）先根據夾角求出cosC，求出CD的長，得到S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答 解：（1）∵sinA+$\sqrt{3}$cosA=0，
∴tanA=$-\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
即28=4+c²-2×2c×（-$\frac{1}{2}$），
即c²+2c-24=0，
解得c=-6（舍去）或c=4，
故c=4．
（2）∵c²=b²+a²-2abcosC，
∴16=28+4-2×2$\sqrt{7}$×2×cosC，
∴cosC=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴CD=$\frac{AC}{cosC}$=$\frac{2}{\frac{2}{\sqrt{7}}}$=$\sqrt{7}$
∴CD=$\frac{1}{2}$BC
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC•sin∠BAC=$\frac{1}{2}$×4×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\sqrt{3}$

點評 本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，以及解三角形的問題，屬于中檔題