Question

18．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA₁=$\sqrt{3}$，∠BAD=120°．
（1）求異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A₁D-A的正弦值．

Answer 1

分析 在平面ABCD內，過A作Ax⊥AD，由AA₁⊥平面ABCD，可得AA₁⊥Ax，AA₁⊥AD，以A為坐標原點，分別以Ax、AD、AA₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．結合已知求出A，B，C，D，A₁，C₁ 的坐標，進一步求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}$的坐標．
（1）直接利用兩法向量所成角的余弦值可得異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值；
（2）求出平面BA₁D與平面A₁AD的一個法向量，再由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B-A₁D-A的余弦值，進一步得到正弦值．

解答 解：在平面ABCD內，過A作Ax⊥AD，
∵AA₁⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD，
∴AA₁⊥Ax，AA₁⊥AD，
以A為坐標原點，分別以Ax、AD、AA₁所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系．
∵AB=AD=2，AA₁=$\sqrt{3}$，∠BAD=120°，
∴A（0，0，0），B（$\sqrt{3}，-1，0$），C（$\sqrt{3}$，1，0），
D（0，2，0），
A₁（0，0，$\sqrt{3}$），C₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$）．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\sqrt{3}，-1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DB}=（\sqrt{3}，-3，0）$，$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（0，-2，\sqrt{3}）$．
（1）∵cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{A{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=-\frac{1}{7}$．
∴異面直線A₁B與AC₁所成角的余弦值為$\frac{1}{7}$；
（2）設平面BA₁D的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-3y=0}\\{-2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，\frac{2\sqrt{3}}{3}）$；
取平面A₁AD的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（1，0，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{3+1+\frac{4}{3}}}=\frac{3}{4}$．
∴二面角B-A₁D-A的余弦值為$\frac{3}{4}$，則二面角B-A₁D-A的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點評 本題考查異面直線所成的角與二面角，訓練了利用空間向量求空間角，是中檔題．