Question

13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，離心率為$\frac{1}{2}$，兩準線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F₁作直線PF₁的垂線l₁，過點F₂作直線PF₂的垂線l₂．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若直線l₁，l₂的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式求得a=2c，由橢圓的準線方程x=±$\frac{2{a}^{2}}{c}$，則2×$\frac{2{a}^{2}}{c}$=8，即可求得a和c的值，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（2）設P點坐標，分別求得直線PF₂的斜率及直線PF₁的斜率，則即可求得l₂及l₁的斜率及方程，聯立求得Q點坐標，由Q在橢圓方程，求得y₀²=x₀²-1，聯立即可求得P點坐標；
方法二：設P（m，n），當m≠1時，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，求得直線l₁及l₁的方程，聯立求得Q點坐標，根據對稱性可得$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n²，聯立橢圓方程，即可求得P點坐標．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，①
橢圓的準線方程x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，由2×$\frac{{a}^{2}}{c}$=8，②
由①②解得：a=2，c=1，
則b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）方法一：設P（x₀，y₀），則直線PF₂的斜率${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$，
則直線l₂的斜率k₂=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$，直線l₂的方程y=-$\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}$（x-1），
直線PF₁的斜率${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，
則直線l₂的斜率k₁=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$，直線l₁的方程y=-$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$（x+1），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}-1}{{y}_{0}}（x-1）}\\{y=-\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}（x+1）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-{x}_{0}}\\{y=\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}}\end{array}\right.$，則Q（-x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$），
由P，Q在橢圓上，P，Q的橫坐標互為相反數，縱坐標應相等，則y₀=$\frac{{x}_{0}^{2}-1}{{y}_{0}}$，
∴y₀²=x₀²-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1}\\{{y}_{0}^{2}={x}_{0}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{y}_{0}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=±\frac{4\sqrt{7}}{7}}\\{{y}_{0}=±\frac{3\sqrt{7}}{7}}\end{array}\right.$，
又P在第一象限，所以P的坐標為：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．

方法二：設P（m，n），由P在第一象限，則m＞0，n＞0，
當m=1時，${k}_{P{F}_{2}}$不存在，解得：Q與F₁重合，不滿足題意，
當m≠1時，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{n}{m-1}$，${k}_{P{F}_{1}}$=$\frac{n}{m+1}$，
由l₁⊥PF₁，l₂⊥PF₂，則${k}_{{l}_{1}}$=-$\frac{m+1}{n}$，${k}_{{l}_{2}}$=-$\frac{m-1}{n}$，
直線l₁的方程y=-$\frac{m+1}{n}$（x+1），①直線l₂的方程y=-$\frac{m-1}{n}$（x-1），②
聯立解得：x=-m，則Q（-m，$\frac{{m}^{2}-1}{n}$），
由Q在橢圓方程，由對稱性可得：$\frac{{m}^{2}-1}{n}$=±n²，
即m²-n²=1，或m²+n²=1，
由P（m，n），在橢圓方程，$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-1={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{16}{7}}\\{{n}^{2}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}={n}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，無解，
又P在第一象限，所以P的坐標為：
P（$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，$\frac{3\sqrt{7}}{7}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查直線的斜率公式，考查數形結合思想，考查計算能力，屬于中檔題．