Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=2
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列的遞推關系式，通過n≥2時，S_n-S_n-1=a_n，推出數列是等比數列，然后求解通項公式以及等差數列的通項公式即可．
（2）化簡數列的通項公式，利用錯位相減法求解數列的和即可．

解答 解；（1）∵∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，$又{S_n}-{S_{n-1}}={a_n}，（n≥2，n∈{N^*}）$
∴a_n=2a_n-2a_n-1，∵a_n≠0，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2，（n≥2，n∈{N^*}），即數列\left\{{a_n}\right\}是等比數列$．
$\begin{array}{l}∵{a_1}={S_1}$，∴${a_1}=2{a_1}-2，即{a_1}=2，\\∴{a_n}={2^n}\end{array}$
∴${a_n}={2^n}$，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）∵∵${c_n}=（2n-1）{2^n}$，
∴${T_n}={a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+…+{a_n}{b_n}=1×2+3×{2^2}+5×{2^3}+…+（2n-1）{2^n}$，
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得：
-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查數列的遞推關系式的應用，數列的通項公式以及數列求和，錯位相減法求和的應用，考查計算能力．