Question

17．設A，B為曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上兩點，A與B的橫坐標之和為4．
（1）求直線AB的斜率；
（2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），運用直線的斜率公式，結合條件，即可得到所求；
（2）設M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），求出y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的導數，可得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，可得m，即有M的坐標，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得x₁，x₂的關系式，再由直線AB：y=x+t與y=$\frac{{x}^{2}}{4}$聯立，運用韋達定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直線方程．

解答 解：（1）設A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）為曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$上兩點，
則直線AB的斜率為k=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）=$\frac{1}{4}$×4=1；
（2）設直線AB的方程為y=x+t，代入曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
可得x²-4x-4t=0，即有x₁+x₂=4，x₁x₂=-4t，
再由y=$\frac{{x}^{2}}{4}$的導數為y′=$\frac{1}{2}$x，
設M（m，$\frac{{m}^{2}}{4}$），可得M處切線的斜率為$\frac{1}{2}$m，
由C在M處的切線與直線AB平行，可得$\frac{1}{2}$m=1，
解得m=2，即M（2，1），
由AM⊥BM可得，k_AM•k_BM=-1，
即為$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}-2}$•$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-1}{{x}_{2}-2}$=-1，
化為x₁x₂+2（x₁+x₂）+20=0，
即為-4t+8+20=0，
解得t=7．
則直線AB的方程為y=x+7．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，注意聯立直線方程和拋物線的方程，運用韋達定理，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．