Question

19．已知拋物線C：y²=2px過點P（1，1）．過點（0，$\frac{1}{2}$）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A，B，其中O為原點．
（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；
（2）求證：A為線段BM的中點．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線過點P（1，1）．代值求出p，即可求出拋物線C的方程，焦點坐標和準線方程；
（2）設過點（0，$\frac{1}{2}$）的直線方程為y=kx+$\frac{1}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據韋達定理得到x₁+x₂=$\frac{1-k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4{k}^{2}}$，根據中點的定義即可證明．

解答 解：（1）∵y²=2px過點P（1，1），
∴1=2p，
解得p=$\frac{1}{2}$，
∴y²=x，
∴焦點坐標為（$\frac{1}{4}$，0），準線為x=-$\frac{1}{4}$，
（2）證明：設過點（0，$\frac{1}{2}$）的直線方程為
y=kx+$\frac{1}{2}$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴直線OP為y=x，直線ON為：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$x，
由題意知A（x₁，x₁），B（x₁，$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，可得k²x²+（k-1）x+$\frac{1}{4}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{1-k}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{1}{4{k}^{2}}$
∴y₁+$\frac{{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{2}}$=kx₁+$\frac{1}{2}$+$\frac{{x}_{1}（k{x}_{2}+\frac{1}{2}）}{{x}_{2}}$=2kx₁+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{2}}$=2kx₁+$\frac{\frac{1-k}{{k}^{2}}}{2×\frac{1}{4{k}^{2}{x}_{1}}}$=2kx₁+（1-k）•2x₁=2x₁，
∴A為線段BM的中點．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質，以及直線和拋物線的關系，靈活利用韋達定理和中點的定義，屬于中檔題．