Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，且以線段A₁A₂為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，則C的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 以線段A₁A₂為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，可得原點到直線的距離$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，化簡即可得出．

解答 解：以線段A₁A₂為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切，
∴原點到直線的距離$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，化為：a²=3b²．
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相切的性質(zhì)、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．