Question

16．如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M是棱CC₁的中點．
（1）證明：B₁M⊥平面ABM；
（2）求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可根據題中條件計算得出AB⊥BM，BM⊥B₁M然后再根據面面垂直的判定定理即可得證．
（2）由于C₁D₁∥B₁A₁故根據異面直線所成角的定義可知∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角然后在解三角形MA₁B₁求出∠MA₁B₁的正切值即可得出結論．

解答 （1）證明：∵AB⊥面BCC₁B₁，BM?面BCC₁B₁
∴AB⊥B₁M①
∵B₁M=$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{2}$，B₁B=2
∴BM⊥B₁M②
∵AB∩BM=B
∴由①②可知B₁M⊥平面ABM．
（2）解：如圖，因為C₁D₁∥B₁A₁，所以∠MA₁B₁為異面直線A₁M和C₁D₁所成的角，
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁
∴∠A₁B₁M=90°
∵A₁B₁=1，B₁M=$\sqrt{2}$
∴tan∠MA₁B₁=$\sqrt{2}$
即異面直線A₁M和C₁D₁所成的角的正切值為$\sqrt{2}$．
∴異面直線A₁M和C₁D₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查異面直線所成角的定義以及線面垂直的證明，屬常考題型．解題的關鍵是要掌握異面直線所成角的定義（即將異面直線轉化為相交直線所成的角）和面面垂直的判定定理．