Question

4．設全集為R，集合A=（-∞，-1）∪（3，+∞），記函數f（x）=$\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}$的定義域為集合B
（1）分別求A∩B，A∩∁_RB；
（2）設集合C={x|a+3＜x＜4a-3}，若B∩C=C，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數f（x）的定義域得到集合B，根據集合的基本運算即可求A∩B，（∁_RB）∩A；
（2）根據B∩C=C，建立條件關系即可求實數a的取值范圍．

解答 解：（1）全集為R，集合A=（-∞，-1）∪（3，+∞），函數f（x）=$\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}$，
其定義域需滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-2≥0}\\{6-x≥0}\end{array}\right.$，解得：2≤x≤6．
故得集合B=[2，6]．
則∁_RB═（-∞，2）∪（6，+∞），
那么：A∩B={x|3＜x≤6}．
（∁_RB）∩A═（-∞，-1）∪（6，+∞）．
（2）集合C={x|a+3＜x＜4a-3}，
∵B∩C=C，
∴C⊆B，當C=∅時，滿足題意，此時4a-3≤a+3，解得：a≤2；
當C≠∅時，要使C⊆B成立，則需要$\left\{\begin{array}{l}{a+3＜4a-3}\\{2≤a+3}\\{4a-3≤6}\end{array}\right.$，解得：2＜a≤$\frac{9}{4}$．
綜上所得：實數a的取值范圍（-∞，$\frac{9}{4}$]．

點評 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．