Question

14．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點，PB=BC，PA=AB=1．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）求三棱錐E-BCD的外接球的表面積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得DE⊥PC，BE⊥PC，由線面垂直的判定定理可得：PC⊥平面BDE；
（2）三棱錐E-BCD的外接球的球心即線段BC的中點，BC是球的直徑，進而得到答案．

解答 （12分）
（1）證明：∵DE垂直平分線段PC，
∴DE⊥PC，
又由PB=BC，PE=CE，
∴BE⊥PC，
又由BE，DE?平面BDE，BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE
（2）解：連接BD，
由（1）中PC⊥平面BDE得：PC⊥BD，
PA⊥平面ABC得：PA⊥BD，
又由PA，PC?平面PAC，PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC，
∴BD⊥AC，
而BE⊥PC，
故三棱錐E-BCD的外接球的球心即線段BC的中點，BC是球的直徑，
∵BC=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐E-BCD的外接球的表面積S=2π．

點評 本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定定理，球內接多面體，球的體積與表面積，難度中檔．