Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=2．
（1）求實(shí)數(shù)a，b并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的特性，可得f（0）=0，又由f（1）=2．可得實(shí)數(shù)a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求導(dǎo)，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞增．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
又由f（1）=2．
故$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ \frac{a}{2}=2\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=0，
f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
（2）函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞增，理由如下：
∵f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
故函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．